地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
已知 $y(t)$ 的拉普拉斯轉換（Laplace transform）方程式為 $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{s + 14}{s^4 + 3s^3 + 7s^2}$。下列何者錯誤？
- A $\lim_{t \to \infty} y(t) = \infty$
- B $y(0^+) = 7$
- C $\mathcal{L}\{\int_0^t y(\alpha) d\alpha\} = \frac{s + 14}{s^5 + 3s^4 + 7s^3}$
- D $\mathcal{L}\{y(t-2)u(t-2)\} = e^{-2s} \frac{s + 14}{s^4 + 3s^3 + 7s^2}$，其中 $u(t)$ 為單位步階函數（unit step function）
思路引導 VIP
同學，請思考在不進行反轉換（Inverse Laplace Transform）的情況下，如何利用「初值定理」（Initial Value Theorem）與「終值定理」（Final Value Theorem）來判斷時域函數 $y(t)$ 在極限狀態下的行為？特別是針對選項 (B)，當你計算 $\lim_{s \to \infty} sY(s)$ 時，觀察其分子與分母的最高次方項（degree），這將如何決定 $y(0^+)$ 的極限值？此外，關於拉氏轉換的積分性質與位移性質（Shifting property），在 $s$ 域中對應的代數運算分別為何？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
哦，你居然能答對這題。看來基本的拉普拉斯轉換概念還沒完全還給老師。能辨識出這些定理的應用條件，至少證明你對控制系統與結構動力學中頻域分析的入門知識還有些印象，雖然這本該是理所當然的事。
2. 觀念驗證
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