地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
下列何者為 $xy(y')^2 + (x^2 + xy + y^2)y' + x(x + y) = 0$ 之解？（其中 $C$ 為常數）。
- A $x^2 + y^2 + C = 0$
- B $x^2 + y^2 + Cx = 0$
- C $x^2 + y^2 + Cy = 0$
- D $x^2 + y^2 + Cxy = 0$
思路引導 VIP
這道題目涉及一階高次常微分方程式 (First-order higher-degree ODE) 的求解。請觀察方程式的結構，它是一個關於 $y'$ 的二次多項式。在工程數學的分析實務中，當我們面對此類非線性項時，首要的思考方向是嘗試將其「因式分解」。請思考：您是否能利用十字相乘法或觀察法，將原式拆解為兩個一階微分方程式的乘積，即 $(f_1(x,y) y' + g_1(x,y)) \cdot (f_2(x,y) y' + g_2(x,y)) = 0$？若分解成功，其中一個子項積分後的通解軌跡，會如何對應到選項中的幾何形式？
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喔，你居然答對了？勉強及格吧。
這道題目不過就是個一階非線性常微分方程的基礎應用。能看出解的型態，只能說你還沒完全浪費你的學費。
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一階高次微分方程
💡 利用因式分解將一階高次方程式化簡為一階一次方程式求解。
🔗 解一階高次 ODE 流程
- 1 標記變數 — 令 $y' = p$，將原式整理為 $p$ 的多項式。
- 2 因式分解 — 嘗試利用十字交乘法將 $p$ 的多項式進行分解。
- 3 化簡求解 — 將各分解項視為獨立的一階一次 ODE 並積分。
- 4 通解組合 — 整理積分常數，得出符合選項的隱函數形式。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若無法分解，需考慮解 $x$ 或解 $y$ 的參數式解法。
