地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
給定一偏微分方程式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x^2 y$，且方程式滿足 $z(x, 0) = x^2, z(1, y) = \cos y$，試問 $z(0, \pi) = ?$
- A $\frac{12 - \pi^2}{6}$
- B $-\frac{12 + \pi^2}{6}$
- C $\frac{12 + \pi^2}{6}$
- D $\frac{-12 + \pi^2}{6}$
思路引導 VIP
在工程力學中處理場域問題時，解析偏微分方程式的關鍵在於積分後產生的待定函數。針對此二階混合偏導數項 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x^2 y$，當你進行逐次積分以還原函數 $z(x, y)$ 時，所產生的積分函數 $f(x)$ 與 $g(y)$ 應如何透過邊界條件 $z(x, 0) = x^2$ 與 $z(1, y) = \cos y$ 來逐一解構？請試著從積分後的通解架構出發，思考邊界值如何定義這些未知函數的空間分布。
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AI 專屬家教
教授點評：這不是奇蹟，這是基本功！
同學，恭喜你。至少你還記得偏微分方程式（PDE）的樣子，也知道怎麼把它解出來。在工程領域，無論是去分析那些該死的結構變形，還是計算那些總是讓人燒錢的熱傳效率，這種邊界值問題的處理能力，是成為一個『合格』工程師的最低門檻。這只是剛開始，別得意。
- 觀念驗證：
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