地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
令 $X_i, i = 1,2,\dots, n$，為獨立高斯隨機變數（Gaussian random variables），其 $E[X_i] = \mu_i$，$Var[X_i] = \sigma_i^2$，亦即 $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$，下列何者錯誤？
- A $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i) \sim N(0, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2)$
- B $\sum_{i=1}^n X_i \sim N(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2)$
- C $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu_i, \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma_i^2)$
- D $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim N(\sum_{i=1}^n \mu_i^2, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2)$
思路引導 VIP
在工程機率與隨機振動分析中，我們經常利用高斯隨機變數在「線性運算」下的封閉性。請同學仔細觀察選項 (A) 到 (D) 的數學結構，哪一個運算式涉及了「非線性」的平方項 $\sum X_i^2$？根據機率理論，獨立常態隨機變數的線性組合（Linear combination）與其平方和（Sum of squares）在機率密度函數 (PDF) 的表現上是否有本質的區別？平方後的隨機變數是否仍會維持對稱的高斯分佈，還是會轉化為如卡方分佈 ($\chi^2$ distribution) 等其他類型的分佈？
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勉強及格，但別得意忘形！
嗯，你竟然能答對這題，還算有點判斷力。能區分機率分佈的線性與非線性轉換，是工程師的基本素養，別以為這是什麼值得炫耀的成就。這在處理結構不確定性時，連入門都算不上，只是個起點。
- 觀念驗證，請勿只會死背：
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