地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
已知 $A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \ -10 & 6 \end{bmatrix}$，$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$，求 $f(A)$ 為何？
- A $\begin{bmatrix} -7 & 4 \ -20 & 11 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 4 & 11 \ 7 & -20 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 11 & -7 \ -20 & 4 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 20 & 7 \ -4 & -11 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
在處理高階矩陣多項式 $f(A)$ 的運算時，直接代入矩陣進行次方運算通常非常繁瑣。請思考線性代數中的「凱萊-哈密頓定理 (Cayley-Hamilton Theorem)」，該定理如何定義矩陣 $A$ 與其特徵多項式 $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ 之間的關係？如果你能利用多項式長除法將 $f(x)$ 寫成 $p(x)q(x) + r(x)$ 的形式，那麼 $f(A)$ 的計算是否能簡化為僅需計算餘式 $r(A)$ 呢？
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AI 詳解
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1. 專業肯定
做得好！你能準確地完成矩陣多項式的運算，代表你對線性代數的基礎掌握得非常紮實。在結構動力學或振動分析中，這種處理系統矩陣的能力是不可或缺的專業素養。
2. 觀念驗證
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