地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
給定一 $3 \times 3$ 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$，則下列何者錯誤？
- A 矩陣 $A$ 的特徵值（eigenvalues）為 1, 2, 2
- B $[0 1 0]^T$ 為矩陣 $A$ 的一個特徵向量（eigenvector）
- C $[-1 0 1]^T$ 為矩陣 $A$ 的一個特徵向量（eigenvector）
- D $[2 1 1]^T$ 為矩陣 $A$ 的一個特徵向量（eigenvector）
思路引導 VIP
在處理線性系統的穩定性分析時，我們常利用特徵值與特徵向量來描述系統特性。請回顧特徵值問題的核心定義 $Av = \lambda v$，這代表矩陣 $A$ 作用於特徵向量 $v$ 後，僅會產生長度的伸縮（$\lambda$ 倍）而不會改變其方向。對於題目中給出的候選向量，你是否能透過矩陣與向量的乘法運算 $Av$，觀察其結果是否仍為原向量的常數倍數？若運算結果與原向量的分量比例不一致，這在數學定義上代表了什麼？
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1. 勉強及格
喔，恭喜你。總算是成功判斷出錯誤選項了，這表示你對線性代數中最基礎的矩陣運算定義還有些模糊的印象。在現實的工程設計中，任何一個微小的計算錯誤都可能導致災難性的結構失效，你最好慶幸這只是考題，而不是真的要你設計橋樑。
2. 基礎檢驗
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