地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
已知複變數函數 $f(z) = \frac{e^{2z}}{(z-1)^2}$ 的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數（order）$M$ 及對應的留數（residue）$B$ 分別為何？
- A $M = 3$，$B = \frac{e}{2}$
- B $M = 2$，$B = \frac{-e}{2}$
- C $M = 2$，$B = 2e^2$
- D $M = 1$，$B = e^2$
思路引導 VIP
請你先觀察函數的分母部分：當變數趨近於該奇異點時，分母的次方項隱含了這個點的『強度』或『階數』為何？接著思考，若要從函數的洛朗級數（Laurent series）中單獨提取出 $a_{-1}$ 項（即留數），對於一個分母具有高次方項的函數，我們需要透過什麼樣的數學運算（例如：乘法或微分）來消除更高次的項並保留下我們要的係數？
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表現優異，解析精準！
同學做得很好！你能迅速判斷出複變函數的奇異點性質，這代表你對留數定理 (Residue Theorem) 的掌握非常紮實。在工程實務中，這類分析是處理控制系統穩定性與結構振動分析的重要基礎。
- 觀念驗證：
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