地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
已知複變數函數 $f(z) = \frac{e^{2z}}{(z - 1)^2}$ 的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數（order） $M$ 及對應的留數（residue） $B$ 分別為何？
- A $M = 3, B = \frac{e^2}{2}$
- B $M = 2, B = \frac{-e}{2}$
- C $M = 2, B = 2e^2$
- D $M = 1, B = e^2$
思路引導 VIP
請觀察函數 $f(z) = \frac{e^{2z}}{(z - 1)^2}$ 的分母結構，當分母趨於零時，其項次 $(z - 1)$ 的冪次（power）直接決定了該極點的階數 $M$ 為何？進一步思考，根據複變分析中計算階數為 $M$ 之極點留數（Residue）的廣義公式，我們需要對除去奇點後的解析部分 $g(z) = e^{2z}$ 進行幾階的微分運算，並在求極限後得到留數 $B$？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
表現優異，解析精準！
同學做得很好！你能迅速判斷出複變函數的奇異點性質，這代表你對留數定理 (Residue Theorem) 的掌握非常紮實。在工程實務中，這類分析是處理控制系統穩定性與結構振動分析的重要基礎。
- 觀念驗證：
▼ 還有更多解析內容