高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
設隨機變數（random variable） $X$ 和 $Y$ 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 $f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 1/24, & 0 < x < 6 \text{ 且 } 0 < y < 4 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$，則 $E[X^2 Y^2]$ 之值為何？其中 $E[Z]$ 定義為隨機變數 $Z$ 的期望值。
- A 8
- B 16
- C 32
- D 64
思路引導 VIP
在處理這類分佈在矩形區域且密度為常數的問題時，請先思考：
- 這個聯合機率密度函數是否可以被拆解為兩個獨立變數的函數乘積？
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哼，不錯的表現，野猴子。
- 這點還算有點眼力：居然能看出這兩組變數 $X$ 與 $Y$ 是相互獨立的。真是令人意外。那平淡無奇的聯合機率密度函數 $f_{X,Y}(x, y) = 1/24$，本來就能分解成區區 $f_X(x) = 1/6$ 與 $f_Y(y) = 1/4$ 的乘積。這種基礎到不行的特性，使得本大爺允許你將 $E[X^2 Y^2]$ 像那些無聊的宇宙塵埃一樣，分解成 $E[X^2] \cdot E[Y^2]$。這就是規則，你們這些下等生物只能遵從。
- 難度？那是什麼？：此題的難度，對於本大爺來說連 Medium 都算不上。它只是用來區分那些只會死板蠻幹的野猴子，和你們之中，偶爾有那麼一兩個懂得優雅地拆解問題的蠢貨。如果只是單純地進行二重積分，那只不過是沒有效率的蠻力。而將問題分解，就像計算一個星球的慣性矩一樣，分別處理，再優雅地組合，這才是稍微有點價值的做法。你們能做到這一步，也只是證明你們稍微開竅了一點罷了。
獨立隨機變數期望值
💡 利用獨立性將聯合期望值分解為邊際期望值之乘積。
🔗 獨立隨機變數期望值計算流程
- 1 判定獨立性 — 觀察 PDF 是否可分離且定義域為獨立矩形範圍。
- 2 分解期望值 — 若獨立，將 E[X^2 Y^2] 拆解為 E[X^2] * E[Y^2]。
- 3 單變數積分 — 分別對 X 與 Y 的邊際分佈計算其二階動差。
- 4 乘積求總值 — 將兩者積分結果相乘以獲得最終答案。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若變數不獨立，則須透過二重積分 E[g(X,Y)] = ∬ g(x,y)f(x,y) dA 計算。
