高考申論題
106年
[工業工程] 作業研究
第 二 題
📖 題組：
在一個 ubike（租借腳踏車）的租借站，顧客按一卜瓦松（Poisson）過程（每小時平均 μ = 30 人）到達租借站，以先到先借之順序租借 ubike。而 ubike 按一卜瓦松過程由外地歸還（每小時平均 λ = 40 台）回到租借站並以先到先被借之順序出租。顧客到達時若發現沒有 ubike 在租借站時會等待，但剛到達的顧客看到租借站裡已有 3 個顧客在等就不等了而離開。另一方面，租借站最多只可停 4 台 ubike。ubike 歸還時發現沒位置可擺置，使用人會騎走停到其他租借站。定義 (m, n) 為狀態（state），其中 m 為等待之顧客數，n 為在租借站停放之 ubike 數。令 π(m,n) 為穩態機率（steady-state probability）。（註：m 與 n 不會同時為正 (> 0)）
在一個 ubike（租借腳踏車）的租借站，顧客按一卜瓦松（Poisson）過程（每小時平均 μ = 30 人）到達租借站，以先到先借之順序租借 ubike。而 ubike 按一卜瓦松過程由外地歸還（每小時平均 λ = 40 台）回到租借站並以先到先被借之順序出租。顧客到達時若發現沒有 ubike 在租借站時會等待，但剛到達的顧客看到租借站裡已有 3 個顧客在等就不等了而離開。另一方面，租借站最多只可停 4 台 ubike。ubike 歸還時發現沒位置可擺置，使用人會騎走停到其他租借站。定義 (m, n) 為狀態（state），其中 m 為等待之顧客數，n 為在租借站停放之 ubike 數。令 π(m,n) 為穩態機率（steady-state probability）。（註：m 與 n 不會同時為正 (> 0)）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
解 π(m,n)。（5 分）
思路引導 VIP
這是一道經典的「生滅過程（Birth-Death Process）」等候理論題型。由於顧客等待數 (m) 與腳踏車停放數 (n) 具有互斥性（不會同時大於零），解題關鍵在於定義一個新的一維狀態變數 $k = n - m$（表示站內的淨 ubike 數），將複雜的二維狀態轉換為一維馬可夫鏈，再透過節點間的「局部平衡方程式（Rate In = Rate Out）」推導穩態機率，最後利用機率總和為 1 求出解。
小題 (一)
請畫出轉移率圖（transition rate diagram）。（5 分）
思路引導 VIP
利用生滅過程（Birth-Death Process）的概念，先釐清系統的有效狀態空間，注意題目設定的邊界容量（最多等3人、最多停4車）以及 m 與 n 不可同時為正的互斥條件。接著依據顧客到達率（μ）與腳踏車歸還率（λ）來建立單維度的狀態轉移率圖。
小題 (三)
請以 π(m,n) 計算顧客到租借站要排隊等 ubike 或離開之機率。（3 分）
思路引導 VIP
先釐清卜瓦松到達具備 PASTA 性質，顧客到達時感受到的狀態機率即為穩態機率。接著將文字描述的「排隊」或「離開」轉換為數學狀態條件（站內無車，即 n=0，且等待人數 m=0~3），最後將對應的穩態機率相加即可。
小題 (四)
請以 π(m,n) 計算 ubike 歸還回到租借站時沒地方擺置之機率。（2 分）
思路引導 VIP
判斷何種系統狀態下 ubike 會無法停放。根據題意，當站內已停放 4 台車（且無人等待）時會拒絕新車。結合 PASTA（Poisson Arrivals See Time Averages）性質，腳踏車歸還者遇到滿位的機率即等於該滿位狀態的長期穩態機率。