地特三等申論題
105年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
七、某百貨公司有兩個目錄訂購服務櫃台，任一櫃台平均每 12 分鐘皆有一位顧客到達，任一櫃台平均每一小時可服務 8 位顧客。假設顧客到達呈現卜瓦松（Poisson）分配，櫃台服務顧客時間呈現指數（exponential）分配。試問：（每小題 3 分，共 15 分）
七、某百貨公司有兩個目錄訂購服務櫃台，任一櫃台平均每 12 分鐘皆有一位顧客到達，任一櫃台平均每一小時可服務 8 位顧客。假設顧客到達呈現卜瓦松（Poisson）分配，櫃台服務顧客時間呈現指數（exponential）分配。試問：（每小題 3 分，共 15 分）
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
任一櫃台平均有多少位顧客等待服務（$L_q$）？
思路引導 VIP
看到題目提及單一櫃台的到達率呈卜瓦松分配、服務時間呈指數分配，應立刻聯想到 M/M/1 佇列模型。解題時先統一時間單位求出到達率（λ）與服務率（μ），接著代入 M/M/1 系統的平均等候線長度（Lq）公式即可求解。
小題 (二)
任一櫃台平均有多少位顧客（$L$）？
思路引導 VIP
本題考查等候理論（Queueing Theory）的基本計算。由題目「顧客到達呈卜瓦松分配、服務時間呈指數分配」，且針對「任一櫃台」進行獨立分析，可知為典型的 M/M/1 等候模型。解題時需先將到達率（λ）與服務率（μ）的單位統一為『人/小時』，再代入系統平均人數（L）的公式求解。
小題 (三)
兩個櫃台皆沒有顧客的機率？
思路引導 VIP
本題為排隊理論的應用。根據題意「任一櫃台...皆有一位顧客到達」，應將其視為兩個獨立運作的 M/M/1 排隊系統。先計算單一系統的到達率、服務率與空閒機率，再利用獨立事件機率相乘求得兩個櫃台皆無顧客的機率。
小題 (四)
任一顧客停留在櫃台的平均時間（$W$）？
思路引導 VIP
首先判斷題目給定的等候線模型，由於到達與服務均針對「任一櫃台」獨立描述，故可視為獨立的 M/M/1 模型。接著將到達率與服務率轉換為相同時間單位（如每小時），代入系統平均停留時間公式 W = 1 / (μ - λ) 即可求解。
小題 (五)
兩個櫃台皆忙碌機率？
思路引導 VIP
本題測驗等候理論（Queueing Theory）。看到「兩個服務櫃台」可判斷為 M/M/2 系統。解題時需先統一到達率與服務率的時間單位，計算出系統閒置機率 P0 後，再利用總機率 1 扣除系統人數為 0 與 1 的機率，即可求出雙櫃台皆忙碌的機率。