高考申論題
106年
[水利工程] 流體力學
第 題
📖 題組：
平面理想流流速 U 通過半徑為 a 的圓形斷面，如圖一所示。 圖一 其流場勢函數解析解可以表示為 $\Phi(r, \theta) = U \cdot r \left( 1 + \frac{a^2}{r^2} \right) \cos\theta$ 流場勢函數與流速的關係定義為 $u_r = -\Phi_r$，$u_\theta = -\frac{1}{r}\Phi_\theta$，下標表示微分。說明
平面理想流流速 U 通過半徑為 a 的圓形斷面，如圖一所示。 圖一 其流場勢函數解析解可以表示為 $\Phi(r, \theta) = U \cdot r \left( 1 + \frac{a^2}{r^2} \right) \cos\theta$ 流場勢函數與流速的關係定義為 $u_r = -\Phi_r$，$u_\theta = -\frac{1}{r}\Phi_\theta$，下標表示微分。說明
圓形斷面受到的流體作用力。（5 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
面對理想流體繞圓柱的受力問題，應直覺想到「達朗貝爾悖論」。解題步驟為：1. 將勢函數偏微分求出圓柱表面（r=a）的流速分佈；2. 代入柏努利方程式得到表面壓力分佈；3. 沿 X 軸與 Y 軸對壓力進行積分，利用三角函數的對稱性證明合力為零。
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AI 詳解
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【解題思路】利用勢函數求出圓柱表面流速，代入柏努利方程式得出壓力分佈，再透過壓力對圓柱表面積分，證明總受力為零。 【詳解】 已知：
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圓柱繞流受力分析
💡 利用勢流理論與柏努利方程證明理想流體繞流圓柱受力為零。
🔗 理想流體繞流受力推導流程
- 1 速度分佈 — 對勢函數 Φ 進行偏微分求得 ur 與 uθ
- 2 壓力分佈 — 利用柏努利方程將速度 V 換算為壓力 P
- 3 受力積分 — 將壓力 P 對圓柱表面 dA 進行向量積分
- 4 結果驗證 — 證明阻力與升力皆為零（無環流情況下）
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🔄 延伸學習：延伸學習：若加入環流（Circulation）項，則會產生升力。
