高考申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 三 題
📖 題組：
四、(一)若採用重複系統抽樣法（Repeated Systematic Sampling），在母體大小為 N 中抽出 ns 個“k'取 1”的系統樣本，可得 ns 個樣本大小為 n（n = N/k'）的系統樣本。若第 i 個系統樣本為 y_{i}, y_{i+k'}, ..., y_{i+(n-1)k'}，令 y_bar_{i} = (Σ y_{ij})/n，（i = 1, 2, ..., ns）為第 i 個系統樣本的平均數，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (二)若採用群集隨機抽樣法（Cluster Sampling），在母體大小為 M 中先分成 N 個群集（cluster）（每一個群集之個數為 m1, m2, ..., mN， Σ m_i = M），再以群集為抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個群集為一群集樣本，稱為群集隨機樣本。若 y_i 表示第 i 個群集中變數值的總和，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (三)在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
四、(一)若採用重複系統抽樣法（Repeated Systematic Sampling），在母體大小為 N 中抽出 ns 個“k'取 1”的系統樣本，可得 ns 個樣本大小為 n（n = N/k'）的系統樣本。若第 i 個系統樣本為 y_{i}, y_{i+k'}, ..., y_{i+(n-1)k'}，令 y_bar_{i} = (Σ y_{ij})/n，（i = 1, 2, ..., ns）為第 i 個系統樣本的平均數，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (二)若採用群集隨機抽樣法（Cluster Sampling），在母體大小為 M 中先分成 N 個群集（cluster）（每一個群集之個數為 m1, m2, ..., mN， Σ m_i = M），再以群集為抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個群集為一群集樣本，稱為群集隨機樣本。若 y_i 表示第 i 個群集中變數值的總和，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (三)在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先將系統樣本視為一種特殊的『群集』，思考兩者在抽樣單位與樣本結構上的關聯。接著對比兩者的母體平均數估計公式，即可推導出『群集大小是否相等』是決定公式是否一致的關鍵條件。
小題 (一)
若希望估計住宿客人滿意比例的信賴度為 95% 且誤差界限為 0.05，則須調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房？此時調查總費用為何？（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗分層隨機抽樣下的「最佳配置 (Optimal Allocation)」。看到不同層有不同調查費用時，應優先想到 Neyman 最佳配置原則，利用公式分配樣本，並以未知比例 p=0.5 處理缺乏資料的海景小屋層以最大化變異估計。
小題 (二)
若調查總費用的預算為 5,000 元，則調查多少間海景小屋、豪華小木屋及精緻客房才能使住宿客人滿意比例之估計式的變異數最小。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗分層隨機抽樣中的「最佳配置（Optimum Allocation）」。當總調查費用固定，要求估計量變異數最小時，應聯想到利用 Lagrange 乘數法推導出的最佳樣本配置公式：$n_h \propto N_h S_h / \sqrt{c_h}$。解題關鍵在於判斷缺失的比例資料需以最保守的 $P=0.5$ 代入求極大化標準差，並計算出比例常數後將總預算分配至各層。