高中學測
106年
數A
第 7 題
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
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思路引導 VIP
這道題目的核心觀念在於『分類討論』與『間隔排列』的應用。首先，由於五天中四種餐點（兩麵、兩飯）均需出現至少一次，這代表必然有一種餐點會重複出現兩次。請你先思考：若重複的是『麵食』，為了符合『不連續吃麵食』的限制，這五天中『麵 (N)』與『飯 (R)』的排列序列是否只有一種可能？而若重複的是『飯食』，在『不連續吃麵食』且『連續兩天餐點不重複』的雙重限制下，又有哪些合法的 N 與 R 序列（例如 NRNRR...等）？你能先試著分類並列出這些合法的序列組合嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嗨！這題考驗的是排列組合中的「排容原理」與「間隔法」，你選了 (3) 可能是因為在處理「米食重複」的排列時，雖然注意到同一種餐點不能連續，卻漏掉了「麵食與麵食不能連續」的扣除項，或是重複計算了某些區段。 正確思路： 五天點四種餐點且各至少一次，代表其中一種餐點會出現 2 次，其餘三種各 1 次。
▼ 還有更多解析內容
限制排列組合
💡 優先處理限制較多者，並依重複元素分類討論。
🔗 複合限制排列解題流程
- 1 元素分析 — 確認5天內必有1種餐點重複出現
- 2 分類討論 — 區分重複項為「麵食」或「飯食」
- 3 滿足特定限制 — 先排飯食，再將麵食插空排入以避開相鄰
- 4 總和計算 — 將各類符合條件的排列數加總
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🔄 延伸學習：延伸學習：掌握「相鄰用綑綁法、不相鄰用插空法」的通用技巧
