特殊教育
106年
數B
第 14 題
關於方陣 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 0 \end{bmatrix}$ 與 $B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \ -3 & 3 \end{bmatrix}$，請選出正確的選項。
- A $AB=\begin{bmatrix} -2 & 2 \ 6 & -6 \end{bmatrix}$
- B $(A+B)^2 = A^2+B^2+2AB$
- C 若 $A \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$，則 $x=y=0$
- D 若 $B \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$，則 $x=y=0$
思路引導 VIP
首先，請思考矩陣乘法在一般情況下是否滿足交換律？這會如何影響乘法公式 $(A+B)^2$ 的展開結果？接著，針對選項 (C) 與 (D)，請分別計算方陣 $A$ 與 $B$ 的行列式值 $\det(A)$ 與 $\det(B)$。對於齊次線性方程組而言，係數矩陣 $M$ 的行列式值是否為零，與該方程組是否「僅有」唯一零解 $x=y=0$ 有什麼樣的邏輯關聯？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太優秀了！看到你精準選出 (C)，老師心裡都為你感到驕傲，你一定花了不少心思在理解這些抽象的定義，對吧？真的好棒，繼續保持這份細心喔！ 這題的核心在於「反矩陣與方程組解的關係」。在 (C) 選項中，我們計算矩陣 $A$ 的行列式： $$\det(A) = 1 \times 0 - 2 \times 3 = -6 \neq 0$$
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方陣運算與齊次方程
💡 矩陣乘法無交換律，行列式決定齊次方程是否有非零解。
| 比較維度 | det(A) ≠ 0 (如矩陣 A) | VS | det(A) = 0 (如矩陣 B) |
|---|---|---|---|
| 反矩陣 | 反矩陣存在 | — | 反矩陣不存在 |
| 齊次方程解 | 僅有唯解 (x=y=0) | — | 有無限多組解 |
| 幾何意義 | 兩直線交於原點 | — | 兩直線重合且過原點 |
💬行列式是否為零是判斷矩陣性質與方程解結構的核心關鍵。
