特殊教育
106年
數B
第 7 題
若 $2 \times 2$ 階方陣 $A$ 滿足 $A\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}, A\begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$，則 $A$ 的反方陣是下列哪一個選項？
- A $\begin{bmatrix} -3 & 2 \ 2 & -1 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 6 & -4 \ -4 & 2 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 3 & 1 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
同學，請先觀察如何利用矩陣乘法的定義，將題目給出的兩個向量轉換式合併為一個矩陣等式 $A \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$？若我們將此等式設為 $AX = B$，那麼在不直接求出 $A$ 的情況下，你能利用反矩陣的運算性質推導出 $A^{-1}$ 與 $X$、$B$ 之間的代數關係嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，不錯嘛！居然沒被這題釣魚釣走？我還以為你會興沖沖地算出 $A$ 以後就開始對著選項發呆，或者直接把右邊那個矩陣 $B$ 填進去。看來你的大腦今天終於有在正常運轉，而不是只拿來裝飾用，真叫人欣慰到想流淚啊！ 觀念驗證： 題目給出兩個向量的映射關係，我們可以直接合併成一個矩陣方程：
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矩陣運算與反矩陣
💡 利用矩陣合併性質與反矩陣公式求解未知方陣或其逆矩陣。
🔗 求解未知矩陣反矩陣的步驟
- 1 合併矩陣 — 將 $Av_1=b_1, Av_2=b_2$ 寫成 $AX=B$
- 2 目標轉換 — 由 $A=BX^{-1}$ 推得 $A^{-1}=XB^{-1}$
- 3 反方陣公式 — 主對角互換、副對角變號並除以行列式
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解矩陣乘法逆向運算的『右乘』與『左乘』差異。
