高考申論題 106年 [電力工程] 工程數學

第二題

📖 題組：
矩陣 $M = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$：

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (二)

求矩陣 $P$ 以滿足 $P^{-1}MP$ 為對角矩陣（diagonal matrix）。（5 分）

針對每個特徵值，求解對應的齊次線性方程組 $(M - \lambda I)v = 0$ 找到特徵向量，並將其作為行向量組成對角化轉換矩陣 $P$。

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【解題關鍵】分別求出各特徵值對應的特徵向量，並以特徵向量組成轉換矩陣 $P$。【解答】計算：

求 $M$ 之特徵值（eigenvalue）。（5 分）

透過求解特徵方程式 $\det(M - \lambda I) = 0$，展開行列式並進行因式分解，找到所有的特徵值 $\lambda$。

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【解題關鍵】求解特徵方程式 $\det(M - \lambda I) = 0$ 以尋找特徵值。【解答】計算：

求 $M^4$。（5 分）

可利用對角化性質 $M^4 = P D^4 P^{-1}$ 推導，或由於矩陣階數較小，直接計算矩陣乘法 $M^2 \times M^2$ 亦可快速得解。

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【解題關鍵】可利用矩陣乘法 $M^2 \times M^2$ 或對角化性質 $M^4 = P D^4 P^{-1}$ 計算。【解答】計算：

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