調查局三等申論題
106年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
四、設隨機變數（random variables） X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為：
$f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} A(x + y) & 0 < x \le 1 \text{ and } 0 < y \le 1 \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases}.$
試求：（每小題 10 分，共 20 分）
四、設隨機變數（random variables） X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為：
$f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} A(x + y) & 0 < x \le 1 \text{ and } 0 < y \le 1 \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases}.$
試求：（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
A之值。
思路引導 VIP
面對求聯合機率密度函數未知常數的問題，首要想到「機率密度函數歸一性」定理（全空間積分等於 1）。藉由正確設定積分邊界並計算雙重積分，即可列出方程式求出未知數。
小題 (二)
X + Y \le 1 之機率：P\{X + Y \le 1\}。
思路引導 VIP
看到聯合機率密度函數求特定區域機率的題目，第一步務必利用「總機率為 1」的性質 $\iint f(x,y)dxdy = 1$ 求出未知常數 $A$。接著，畫出 $X+Y \le 1$ 與原定義域交集的積分區域，設定正確的積分上下限並進行雙重積分即可得解。
聯合機率密度函數
💡 聯合機率密度函數在定義域內的雙重積分總和必等於 1。
🔗 求解 PDF 待定常數之流程
- 1 確認定義域 — 識別變數積分範圍 (0, 1)
- 2 設定歸一化 — 列出雙重積分等於 1 之算式
- 3 執行內層積分 — 對 x 積分並代入上下限
- 4 執行外層積分 — 對 y 積分完成最終數值計算
- 5 求出結果 — 解方程式 A(1) = 1 得 A=1
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步利用求得的 A 值計算 X 或 Y 的邊際機率密度函數。
