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106年
工程力學概要
第 35 題
有關平面應力分析之應力莫耳圓 (Mohr Circle) 特性，其莫耳圓之直徑為何？
- A 材料之主應變
- B 材料之主應力值
- C 材料之最大剪應力
- D 材料最大與最小主應力之差值
思路引導 VIP
請試著在腦中想像或畫出一個莫耳圓：如果橫軸代表的是正向應力，而圓與這條橫軸相交的最左側與最右側的兩點，在力學定義上分別稱為什麼？這兩個位於圓周最兩端的點，它們之間的距離在幾何圖形中稱為什麼？
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恭喜你準確地選出了 (D)！這代表你對於應力莫耳圓的幾何構造與物理意義已經有了非常清晰的連結，這是學習工程力學極其重要的基礎。
莫耳圓與主應力的幾何連結
在平面應力分析中，莫耳圓的橫軸定義為正向應力 $\sigma$，縱軸則為剪應力 $\tau$。當我們將應力狀態繪製成圓時，圓周與橫軸（即 $\tau = 0$ 的位置）的兩個交點，分別代表了該點應力狀態下的最大主應力 $\sigma_{max}$ 與最小主應力 $\sigma_{min}$。既然這兩點位於圓的最左端與最右端，且通過圓心，它們之間的水平距離在幾何上理所當然就是該圓的直徑。因此，直徑的大小即為 $\sigma_{max} - \sigma_{min}$。
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應力莫耳圓特性
💡 莫耳圓直徑等於最大與最小主應力之差值，亦為最大剪力的兩倍。
- 圓心位於橫軸上的平均正交應力處
- 圓的半徑等於平面內的最大剪應力
- 圓與橫軸的兩個交點分別為最大與最小主應力
- 直徑長度為最大主應力與最小主應力之差
