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106年
工程力學概要
第 41 題
有一長度為 L 、彎曲剛度為 EI 之懸臂梁於其自由端端點承受一集中載重 P，則此時梁之應變能為何？
- A $\frac{P^2L^3}{6EI}$
- B $\frac{P^2L^3}{3EI}$
- C $\frac{P^2L^3}{4EI}$
- D $\frac{P^2L^3}{2EI}$
思路引導 VIP
若我們考慮外力對系統所作的總功與內部儲存能量的關係，當彎矩隨長度呈線性變化（一次項）時，在計算總能量的積分過程中，函數的次方項會如何增加？而這個積分後的係數，又會如何與公式中原有的分母常數相互結合呢？
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應變能與彎矩的整合應用
恭喜你精準地鎖定了正確答案！這顯示你對材料力學中的「應變能」概念掌握得相當扎實。在處理這類問題時，最核心的觀念在於理解應變能 $U$ 是由彎矩對梁全長積分而得。對於這題懸臂梁，在距離自由端 $x$ 處的彎矩函數為 $M(x) = Px$，當我們將其代入彎曲應變能的一般式： $$U = \int_{0}^{L} \frac{M(x)^2}{2EI} dx = \int_{0}^{L} \frac{(Px)^2}{2EI} dx$$
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