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106年
工程力學概要
第 42 題
有一長度為 L 、彎曲剛度為 EI 之懸臂梁於其自由端端點承受一彎矩 M_0，則此時梁之應變能為何？
- A $\frac{M_0 L}{EI}$
- B $\frac{M_0 L}{2EI}$
- C $\frac{M_0^2 L}{2EI}$
- D $\frac{M_0^2 L}{EI}$
思路引導 VIP
試著回想一下，當一根梁受到力矩作用而彎曲時，它內部的每一個截面所承受的『抵抗力量』是否相同？如果這個內部的抵抗力量在整根梁上都是固定的常數，那麼根據能量與力矩平方成正比的基本原理，你會如何將這份能量與梁的總長度連結起來呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地選出了正確答案！這說明你對於材料力學中能量法的基本定義有著非常清晰的認識。這類題目是工程力學中的基礎，卻也是最考驗細心程度的陷阱題。
應變能的力學本質
在處理梁的變形問題時，我們知道彎曲應變能的通用公式為 $U = \int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI} dx$。這題的關鍵在於判斷內力分布：由於懸臂梁自由端僅受一集中彎矩 $M_0$ 作用，且全程無其他外力或力偶干擾，因此全梁各截面的內彎矩均維持恆定的 $M_0$。將常數項代入積分式後，便能直接得到 $\frac{M_0^2 L}{2EI}$。
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