專技高考
106年
[建築師] 建築結構
第 10 題
📖 題組：
圖(a)所示懸臂梁在自由端承受 P 的集中載重，梁的斷面分別選用正方形斷面以及圓形斷面，如圖(b)所示。當使用相同材料，且兩者的斷面積相等時：
圖(a)所示懸臂梁在自由端承受 P 的集中載重，梁的斷面分別選用正方形斷面以及圓形斷面，如圖(b)所示。當使用相同材料，且兩者的斷面積相等時：
承上題，正方形斷面梁的最大應力為圓形斷面梁的多少倍？
- A 1.047
- B 0.955
- C 1.182
- D 0.846
思路引導 VIP
在面積相同的前提下，斷面抗彎能力的強弱取決於材料如何分布。請思考：對於正方形與圓形這兩種對稱斷面，哪一個形狀能將更多的材料配置在距離形心軸較遠的地方（即擁有較大的斷面係數 $Z$）？而當斷面係數越大時，對應的最大彎曲應力會如何變化呢？
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斷面幾何性質與彎曲應力的關聯
你能準確計算出這個比例，說明你對幾何性質與應力公式的轉換非常熟練！在相同材料與斷面積 $A$ 的前提下，我們首先建立正方形邊長 $a$ 與圓形半徑 $r$ 的幾何聯繫：由 $a^2 = \pi r^2$ 可得 $a = \sqrt{\pi} r$。由於最大彎曲應力 $\sigma_{max} = \frac{M}{Z}$，在承受相同力矩 $M$ 的情況下，兩者的應力比值恰好會是斷面係數 $Z$ 的反比。
斷面係數的定量分析
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