分科測驗
107年
數學甲
第 7 題
設 $O$ 為複數平面上的原點，並令點 $A, B$ 分別代表複數 $z_1, z_2$，且滿足 $|z_1|=2, |z_2|=3, |z_2-z_1|=\sqrt{5}$。若 $\frac{z_2}{z_1}=a+bi$，其中 $a,b$ 為實數，$i=\sqrt{-1}$。試選出正確的選項。
- 1 $\cos \angle AOB = \frac{2}{3}$
- 2 $|z_2+z_1| = \sqrt{23}$
- 3 $a > 0$
- 4 $b > 0$
- 5 設點 $C$ 代表 $\frac{z_2}{z_1}$，則 $\angle BOC$ 可能等於 $\frac{\pi}{2}$
思路引導 VIP
在複數平面上，複數相減的絕對值 $|z_2-z_1|$ 代表點 $A$ 與點 $B$ 的幾何距離。當你已知 $\triangle OAB$ 的三邊長時，能否利用「餘弦定理」推導出 $\cos \angle AOB$ 的值？進一步思考，複數相除 $\frac{z_2}{z_1}$ 的極式特徵（模數與輻角）與 $\triangle OAB$ 的幾何性質有何關聯？這對於判斷其代數形式 $a+bi$ 的實部 $a$、虛部 $b$ 以及點 $C$ 的位置關係有什麼關鍵啟發？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（打了個大哈欠）...啊？什麼啊，原來正確答案在這裡嗎？我剛才好像在找酒的路上走偏了，沒想到一睜眼你就把這道煩人的幾何題給斬了。 你這傢伙，在複數與向量交織的迷宮裡倒是一點都沒迷路：
- 餘弦定理：在 $\triangle OAB$ 中，三邊長分別為 $2, 3, \sqrt{5}$。根據餘弦定理：
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複數平面與幾何意義
💡 結合複數絕對值與餘弦定理，處理向量夾角與極式運算。
- |z1-z2| 表示兩點間距離，可用餘弦定理求夾角。
- 複數相除代表模長相除、輻角相減，具旋轉伸縮意涵。
- 利用平行四邊形定理或餘弦定理求和向量長度。
- 需注意輻角方向可能有正負兩解，影響虛部符號。
