地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
下列何者是互為線性相依（linear dependent）？
- A $y_1 = \cos wx, y_2 = \sin wx, y_3 = e^x$
- B $y_1 = e^x, y_2 = e^{2x}, y_3 = xe^x$
- C $y_1 = e^{3x}, y_2 = e^{6x}, y_3 = e^{9x}$
- D $y_1 = x, y_2 = 3x, y_3 = x^2$
思路引導 VIP
同學，在探討線性系統或微分方程時，理解線性相依（Linear Dependence）的數學定義與物理意義是極為重要的基本功。若一組函數中，存在至少一個函數可以被表示為其他函數的線性組合，則該組函數即為線性相依。這在數學上意味著存在一組不全為零的係數 $c_1, c_2, c_3$ 使得 $c_1 y_1 + c_2 y_2 + c_3 y_3 = 0$ 對所有 $x$ 均成立。請仔細檢視各選項，是否存在某個函數，它其實只是另一個函數經過常數縮放後的結果（例如 $y_i = k y_j$）？如果一組函數中已經包含了彼此成比例的項，這組函數整體的獨立性會發生什麼變化？
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AI 詳解
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1. 專業肯定
做得好！能準確判斷函數之間的線性相依性（Linear Dependence），代表你對工程數學中線性代數的核心觀念掌握得非常精確。這在後續分析結構動力學或微分方程時至關重要。
2. 觀念驗證
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