地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
設 $y = y(t)$ 為 $y''(t) + y'(t) + y(t) = 2$ 之解，則 $\lim_{t \to \infty} y(t)$ 之值為何？
- A 0
- B 2
- C 4
- D $\infty$
思路引導 VIP
請從工程力學或系統控制的「暫態」(Transient) 與「穩態」(Steady-state) 觀點來思考：此二階線性常係數非齊次方程式的解 $y(t)$ 可分解為齊次解 $y_h(t)$ 與特解 $y_p(t)$。請先求出特徵方程式 $r^2 + r + 1 = 0$ 的特徵根，並觀察其「實部」(Real part) 是正還是負？這將決定暫態項在 $t \to \infty$ 時是否會衰減至零。若系統是漸近穩定的，則當時間趨於無窮大時，函數的一階導數 $y'(t)$ 與二階導數 $y''(t)$ 應趨向於何值？這時原方程式會簡化為何種形式來求得穩態值？
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- 大力肯定：做得好！你能精準掌握線性常微分方程 (ODE) 的長期行為，代表你對結構動力學或控制系統中的動態穩定性有很紮實的理解。
- 觀念驗證：
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