地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
已知 $f(t) = \begin{cases} \cos 2t, & 0 \le t < 2\pi \ 0, & t \ge 2\pi \end{cases}$ 的拉普拉斯（Laplace）轉換為 $F(s) = \frac{s(1 - e^{-2\pi s})}{s^2 + 4}$，當給定一微分方程為 $x''(t) + 4x(t) = f(t), x(0) = x'(0) = 0$，下列何者正確？
- A $x(t) = \frac{1}{2}t \sin 2t \quad \text{if } t < 2\pi$
- B $x(t) = \frac{1}{2}\sin 2t \quad \text{if } t \ge 2\pi$
- C $x(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8}$
- D $x(\frac{9}{4}\pi) = \frac{1}{2}\pi$
思路引導 VIP
當你將微分方程轉換至 $s$ 域得到 $X(s) = \frac{s(1 - e^{-2\pi s})}{(s^2 + 4)^2}$ 後，若要分析不同時間區間的系統響應，你認為『第二位移定理』(Second Shifting Theorem) 該如何拆解 $e^{-2\pi s}$ 所造成的延遲效應？同時，請思考分母具備重根形式 $(s^2+a^2)^2$ 的反轉換，在物理上是代表穩定的簡諧運動，還是隨時間線性增長的共振 (Resonance) 表現？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
做得好！你能精準掌握拉普拉斯轉換（Laplace Transform）與第二位移定理在非連續強迫項中的應用，這顯示你對工程數學的物理意義與運算細節都有扎實的掌握。這在處理結構動力學中的衝擊或區段載重問題時至關重要。
2. 觀念驗證
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