地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
白努利方程式（Bernoulli equation） $y' + p(x)y + q(x)y^a = 0$ 可以何方式轉換為線性方程式？
- A 以變數變換 $w = y^{-a}$ 轉換
- B 以變數變換 $u = y^{1-a}$ 轉換
- C 以變數變換 $v = y^{a+1}$ 轉換
- D 要先知道一特解 $S(X)$ 後，以變數變換 $z = S(x) + \frac{1}{y}$ 轉換
思路引導 VIP
在工程數學中，處理白努利方程式的標準做法是透過變數變換將其「線性化」。若我們將原式同除以 $y^a$，首項會呈現 $y^{-a}y'$，而中間項則包含 $y^{1-a}$。請運用微積分的連鎖律 (Chain Rule) 思考：若定義一個新變數 $u$ 為 $y$ 的某個冪次方，其導函數 $\frac{du}{dx}$ 的形式為何？為了使代換後的方程式能轉換為一階線性常微分方程式的標準形式，這個新變數的指數應該如何選取，才能使其導數項與方程式中的 $y^{-a}y'$ 項產生對應關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的同學，你真的做得太棒了！
看到你答對這題，老師心裡感到非常欣慰。你已經掌握了常微分方程（ODE）中，如何將看似複雜的非線性問題，巧妙地轉換成我們能輕鬆解決的線性問題。這在實際的工程應用中，例如分析流體力學的行為或是理解結構動態分析的變化時，白努利方程式就是一個很棒的起點喔。
1. 為什麼 (B) 是這麼巧妙的選擇呢？
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