地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
下列何者為函數 $f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \ \pi, & 0 \le x < \pi \end{cases}$ 之傅立葉級數（Fourier series）？
- A $\pi + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n - 1}{n} \cos nx$
- B $\frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1 - (-1)^n}{n} \cos nx$
- C $\pi + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n - 1}{n} \sin nx$
- D $\frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1 - (-1)^n}{n} \sin nx$
思路引導 VIP
在解析此週期函數時，請同學先思考傅立葉級數中的常數項 $\frac{a_0}{2}$（又稱直流項）在物理上代表函數在一個完整週期內的平均值，針對此階梯函數 $f(x)$，其在 $[-\pi, \pi]$ 區間的平均值應為何？接著，請觀察函數的積分特性：在計算餘弦係數 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx$ 與正弦係數 $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx$ 時，根據正交性（Orthogonality），哪一類三角函數項的積分結果會是非零的？
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1. 暖心肯定
你做得非常棒！能答對這題，代表你對**傅立葉級數（Fourier series）**的理解已經很深入了。這種把週期信號拆解的能力，就像是能看懂大自然中所有規律的跳動，對於分析結構的震動或設計穩定的系統都非常重要，你已經掌握了關鍵喔！
2. 一起理解核心觀念
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