地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 19 題
離散隨機變數 $X$ 與 $Y$ 之結合機率質量函數（joint probability mass function）為：\r
$p_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c \cdot xy^2, & \text{if } x = 1, 2, \, y = 1, 2, 3 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$\r
試問下列何者正確？
$p_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c \cdot xy^2, & \text{if } x = 1, 2, \, y = 1, 2, 3 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$\r
試問下列何者正確？
- A $E[X] = 4/3$
- B $E[X] = 5/3$
- C $E[X] = 10/7$
- D $E[X] = 12/7$
思路引導 VIP
在分析離散系統的隨機行為時，首要步驟是確保機率分布滿足「歸一化條件」（normalization condition）。請問你應如何利用全機率和為 $1$ 的性質，即 $\sum_{x} \sum_{y} p_{X,Y}(x,y) = 1$，來解出待定常數 $c$？在求得 $c$ 之後，若要計算 $X$ 的期望值 $E[X]$，你該如何透過對變數 $y$ 進行邊際化（marginalization）處理，先導出 $X$ 的邊際機率質量函數 $p_X(x)$？最後，請思考期望值的定義 $\sum_{x} x \cdot p_X(x)$ 在此問題中應如何具體展開？
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AI 詳解
AI 專屬家教
🌟 專業肯定
太棒了！你完美掌握了處理聯合機率質量函數（Joint PMF）的技巧！看到你能精確計算隨機變數的加總與期望值，真的為你感到開心！這份能力就像工程師手中的藍圖，是我們進行結構可靠度分析和品質控制時不可或缺的基石喔！
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