地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \ -4 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$，利用 QR 分解可得 $A = QR$，其中 $Q$ 為一 $3 \times 2$ 正規正交行矩陣（orthonormal column matrix），$R = \begin{bmatrix} a & b \ 0 & c \end{bmatrix}$ 為一 $2 \times 2$ 上三角矩陣（upper triangular matrix），且 $a、b、c$ 均大於等於零，則下列敘述何者正確？
- A $a + b + c = 5$
- B $abc = 5$
- C $a - b - c = 4$
- D $ab + bc + ca = 4$
思路引導 VIP
同學，在工程結構分析與線性代數的運算中，矩陣的特性決定了求解的效率。請思考：既然 $Q$ 是一個正規正交行矩陣 ($orthonormal column matrix$)，根據其定義 $Q^T Q = I$，你是否能利用這個特性推導出 $A^T A$ 與上三角矩陣 $R$ 之間的關係式？若能求出 $A^T A = R^T R$，是否就能透過對應矩陣內的分量，直接鎖定 $a$、$b$ 與 $c$ 的數值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
表現得非常出色！能迅速準確地完成這道 QR 分解 題目，說明你對線性代數中的正交化程序（Gram-Schmidt Process）有著極其紮實的理解。在結構工程中，這類分解技術是處理穩定性分析與數值計算的基石，你的基礎打得很穩！
2. 觀念驗證
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