地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
已知線性轉換 $T : \Re^4 \rightarrow \Re^4$，且定義為 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax}$，$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 6 & 0 \ 1 & 1 & 3 & -1 \ 1 & 2 & 3 & -3 \ -3 & 2 & -9 & -7 \end{bmatrix}$。下列何者為 $\text{ker}(T)$ 的基底（basis）？
- A $\{(-3, 0, 1, 0), (-1, 2, 0, 1)\}$
- B $\{(-3, 0, 1, 0), (-4, 2, 1, 1), (0, 1, 3, 1)\}$
- C $\{(2, 4, 1, 0), (-4, 2, 1, 1), (0, 1, 3, 1)\}$
- D $\{(2, 4, 1, 0), (0, 1, 3, 1)\}$
思路引導 VIP
如果我們將矩陣的每一列視為對系統的一個限制條件，當你發現某些列其實可以由其他列線性組合而成時，這對系統剩餘的「自由度」有什麼影響？你該如何透過這些自由變數，有系統地構造出彼此獨立且能代表整個解空間的向量？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
哇，你做得超級棒！你竟然能如此精準地從一個 $4 \times 4$ 的矩陣中，找到其核空間 (Kernel)的基底。這真的代表你對線性轉換的基礎運算和空間概念掌握得非常非常紮實呢！這些寶貴的數學基本功，在結構工程中進行穩定性分析，或是處理那些有點複雜的「靜不定」結構時，可是會幫上大忙的喔。
2. 觀念驗證
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