地特四等申論題
107年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
假設有一個球箱中放置了 8 顆標記有數字的球，其中 4 顆標記數字"0"，2 顆標記數字"-1"，2 顆標記數字"1"。現在從這個球箱中，以取後放回的方式隨機抽出 2 顆球，球上標記的數字分別為 X1, X2，並計算平均數 X = (X1 + X2) / 2。
假設有一個球箱中放置了 8 顆標記有數字的球，其中 4 顆標記數字"0"，2 顆標記數字"-1"，2 顆標記數字"1"。現在從這個球箱中，以取後放回的方式隨機抽出 2 顆球，球上標記的數字分別為 X1, X2，並計算平均數 X = (X1 + X2) / 2。
📝 此題為申論題，共 6 小題
小題 (一)
寫出此抽樣問題中的母體分配。（3 分）
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看到「母體分配」，應直覺聯想到單次抽樣時，隨機變數（即球上數字）所有可能發生的數值及其對應的機率。只需將各數字出現的數量除以總球數，並以機率分配表（PMF）呈現即可拿到完整基本分。
小題 (二)
求算母體平均數與母體變異數。（6 分）
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看到此題，首先要釐清題目雖有抽樣情境的鋪陳，但本子題僅單純要求計算「母體」的參數，而非樣本平均數的分配。應先根據箱中球的數量比例，建立隨機變數的母體機率分配，接著直接代入期望值與變異數的定義公式即可精確取分。
小題 (三)
說明 X1, X2 兩個隨機變數是否獨立及其理由。（5 分）
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看到「取後放回」抽樣，應立即聯想到每次抽取的結果互不影響，具備獨立性。答題時可從抽樣機制的定義切入，並輔以聯合機率等於邊際機率相乘的統計定義 P(X1=x1, X2=x2) = P(X1=x1)P(X2=x2) 來進行嚴謹論證。
小題 (四)
寫出 X 的抽樣分配。（5 分）
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看到求「樣本平均數的抽樣分配」題型，首先應根據題意建立母體的機率分配。接著，留意「取後放回」代表每次抽樣為獨立同分配（i.i.d.），利用聯合機率等於邊際機率相乘的特性，系統性地列舉所有抽出樣本組合，計算其對應的平均數與機率，最後將相同平均數的機率合併並列表即為所求。
小題 (五)
求算 X 的平均數與變異數。（6 分）
思路引導 VIP
面對樣本平均數的動差計算題，首先應釐清母體分配（單次抽球）的機率函數，並計算出母體的期望值與變異數。接著利用「取後放回」代表隨機變數彼此獨立同分配（i.i.d.）的特性，直接代入樣本平均數的期望值與變異數公式求解，可大幅節省計算聯合機率分配的時間。
小題 (六)
若同樣以取後放回的方式隨機抽出 4 顆球，求算 X4 = (X1 + X2 + X3 + X4)/4 的標準差。（5 分）
思路引導 VIP
看到求樣本平均數的標準差，應立刻聯想到變異數基本公式 Var(X̄) = σ²/n。由於本題採「取後放回」，樣本間彼此獨立同分配（i.i.d.），故只需先建立單次抽出的母體機率分配，求出母體變異數 σ²，再除以樣本數 n 開根號即可求解。