地特四等申論題
107年
[經建行政] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
有一隨機變數 X 之機率分配如下： x 1 5 9 f(x) 0.2 0.5 0.3 令 $X_1$ 與 $X_2$ 分別表由此母體以隨機所抽取的 n=2 個樣本，令 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2}$，則：
有一隨機變數 X 之機率分配如下： x 1 5 9 f(x) 0.2 0.5 0.3 令 $X_1$ 與 $X_2$ 分別表由此母體以隨機所抽取的 n=2 個樣本，令 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2}$，則：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試列出此 n=2 之所有可能的樣本組合與其對應的被抽出機率。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗「抽樣分配」的基礎概念。看到隨機抽取兩個樣本，應預設為簡單隨機抽樣（獨立同分配，i.i.d.）。運用獨立事件的機率乘法法則 $P(X_1,X_2) = P(X_1) \times P(X_2)$，系統性列出所有可能的 $3 \times 3 = 9$ 種排列組合並計算對應機率，最後檢查機率總和是否為 1 即可。
小題 (二)
試求出樣本平均數( $\bar{X}$ )的抽樣分配，並求出 $\bar{X}$ 之期望值 E( $\bar{X}$ ) 與 $\bar{X}$ 之變異數 V( $\bar{X}$ )之值。（10 分）
思路引導 VIP
面對求小樣本抽樣分配的題目，第一步應利用窮舉法列出所有可能的樣本組合 $(X_1, X_2)$，並利用獨立性計算聯合機率。第二步將具有相同樣本平均數 $\bar{x}$ 的機率加總，建立完整的機率分配表。最後，利用期望值與變異數的基本定義直接代入抽樣分配計算，並建議利用統計學定理 $E(\bar{X})=\mu$ 與 $V(\bar{X})=\sigma^2/n$ 作為輔助驗算，以確保計算過程完美無瑕。
小題 (三)
試求 $P(\bar{X} > 5) = $？（5 分）
思路引導 VIP
面對小樣本 (n=2) 的離散型隨機變數抽樣分配，切忌套用中央極限定理（CLT）。應利用「隨機樣本獨立且同分配（i.i.d.）」的特性，先將所求的樣本平均數條件 $\bar{X} > 5$ 轉換為樣本和條件 $X_1 + X_2 > 10$，接著窮舉出所有可能的樣本組合或建立完整的聯合機率分配表，找出符合條件的樣本點機率予以加總即可。