高考申論題
107年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
如圖之一質量塊滑動於無摩擦平面，質量塊由一直流馬達（DC motor）轉動時規皮帶（timing belt）帶動，該馬達半徑為 r，轉速以 ω 表示，欲以負迴授控制位置 x 時，將比較命令 $x_{cmd}$與該位置 x 之差異，輸入至 PI 控制器以產生馬達電壓，達成質量塊位置控制時，試問：
(一)感測器若為光學尺（Linear scale）應安裝何處？如何安裝？（5 分）
(二)質量塊方塊圖（Block Diagram）輸入是推動質量塊之力 F(s)，輸出是速度 V(s)及位置 X(s)，其方塊圖模型為何？（5 分）
(三)馬達輸入是電樞電壓 U_a(s)，輸出是推動質量塊之力 F(s)，其方塊圖模型為何？R_a 是電樞電路的電阻（Ohm），L_a 是電樞電路的電感（Henry），C_m 是電動機轉矩係數（Newton·meter/Ampere），E_a 是電樞反電勢，C_e 是反電勢係數（Volt/rad/sec）。（7 分）
(四)閉迴路系統轉移函數 $X(s)/X_{cmd}(s)$展開成代數分式（rational polynomial）為何？（8 分）
如圖之一質量塊滑動於無摩擦平面，質量塊由一直流馬達（DC motor）轉動時規皮帶（timing belt）帶動，該馬達半徑為 r，轉速以 ω 表示，欲以負迴授控制位置 x 時，將比較命令 $x_{cmd}$與該位置 x 之差異，輸入至 PI 控制器以產生馬達電壓，達成質量塊位置控制時，試問：
(一)感測器若為光學尺（Linear scale）應安裝何處？如何安裝？（5 分）
(二)質量塊方塊圖（Block Diagram）輸入是推動質量塊之力 F(s)，輸出是速度 V(s)及位置 X(s)，其方塊圖模型為何？（5 分）
(三)馬達輸入是電樞電壓 U_a(s)，輸出是推動質量塊之力 F(s)，其方塊圖模型為何？R_a 是電樞電路的電阻（Ohm），L_a 是電樞電路的電感（Henry），C_m 是電動機轉矩係數（Newton·meter/Ampere），E_a 是電樞反電勢，C_e 是反電勢係數（Volt/rad/sec）。（7 分）
(四)閉迴路系統轉移函數 $X(s)/X_{cmd}(s)$展開成代數分式（rational polynomial）為何？（8 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
質量塊方塊圖（Block Diagram）輸入是推動質量塊之力 F(s)，輸出是速度 V(s)及位置 X(s)，其方塊圖模型為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：牛頓第二運動定律的 Laplace 轉換。
- 物理公式：$F = m a = m \dot{v} = m \ddot{x}$。
小題 (一)
感測器若為光學尺（Linear scale）應安裝何處？如何安裝？（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：運動控制系統中的回授感測器安裝。
- 物理結構：系統目標是控制質量塊 $m$ 的位移 $x$。
小題 (三)
馬達輸入是電樞電壓 $U_a(s)$，輸出是推動質量塊之力 F(s)，其方塊圖模型為何？$R_a$ 是電樞電路的電阻（Ohm），$L_a$ 是電樞電路的電感（Henry），$C_m$ 是電動機轉矩係數（Newton·meter/Ampere），$E_a$ 是電樞反電勢，$C_e$ 是反電勢係數（Volt/rad/sec）。（7 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：DC 馬達機電整合建模。
- 電氣方程式：$U_a - E_a = (L_a s + R_a) I_a$。
小題 (四)
閉迴路系統轉移函數 X(s)/$X_{cmd}$(s)展開成代數分式（rational polynomial）為何？（8 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：整合所有組件，求取閉迴路轉移函數。
- 組件清單：
力學系統與馬達建模
💡 運用拉氏轉換將物理定律轉化為方塊圖，達成系統動態分析。
🔗 力學系統物理量轉換鏈
- 1 輸入推力 F(s) — 系統受力激勵源
- 2 增益 1/m — 牛頓定律轉換為加速度 A(s)
- 3 積分器 1/s — 對時間積分得到速度 V(s)
- 4 積分器 1/s — 再次積分得到終點位置 X(s)
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🔄 延伸學習：延伸：若受控體包含摩擦阻尼，則加速度項前須加入速度回授之阻尼阻力。
