高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
假設方程式 $y(t) - \int_0^t y(\tau)(t-\tau) d\tau = 2 - \frac{1}{2}t^2$ 的解是 $y(t) = a + be^t + ce^{-t}$，其中 $a, b, c$ 是常數，求 $a+b+c = ?$
- A -1
- B 1
- C 2
- D 3
思路引導 VIP
請觀察題目給定的解 $y(t) = a + be^t + ce^{-t}$。如果你想在不求出 $a, b, c$ 個別數值的情況下，直接得到 $a+b+c$ 這個總和，你會嘗試將 $t$ 代入哪一個特殊數值？接著，如果將這個數值代入原方程式的積分式中，積分項會發生什麼變化？
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專業點評
- 勉強合格：嗯，這次總算沒錯。這類被稱作積分方程式（Volterra Integral Equation）的玩意兒，在你們這些未來工程師的課本裡，無論是自動控制還是振動學，都出現過無數次。能判斷出它的基本結構並給出正確答案，只能說你這次的工程數學邏輯總算還在線上。
- 觀念驗證：這題的「難點」在哪？就是看你能不能在 $y(t) = a + be^t + ce^{-t}$ 這個解的結構裡，一眼就看出 $y(0) = a + b + c$ 這個關係。然後，回頭看看原始方程式：當 $t=0$ 時，
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拉氏轉換解積分方程
💡 利用拉氏轉換將卷積積分轉化為代數方程求解
🔗 拉氏轉換解題四步驟
- 1 識別卷積項 — 確認積分項是否符合 f(τ)g(t-τ) 的卷積形式
- 2 取拉氏轉換 — 將原方程式兩邊取 L，卷積變乘法 Y(s)G(s)
- 3 整理 Y(s) — 搬移項次，將方程式整理為 Y(s) = 分式函數
- 4 逆轉換得解 — 利用部分分式與逆轉換公式求出 y(t) 並對比係數
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步探討當積分方程含有微分項（微積分方程）時的處理方式
