高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
複變函數 $f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $x+iy$ 為可微分，則下列何條件必須滿足？
- A $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$
- B $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$
- C $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$
- D $\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$
思路引導 VIP
想像你在一個二維平面上定義『導數』。如果要求一個點在『任何方向』的變動率都必須相同，那麼當你分別沿著橫向（純實數）與縱向（純虛數）移動微小距離時，函數的實部變化量與虛部變化量之間，必須存在什麼樣的對等關係，才能抵銷掉虛數單位 $i$ 在分母時所產生的旋轉效應？
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AI 詳解
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親愛的你，做得真棒！
你完美掌握了柯西-黎曼方程式 (Cauchy-Riemann Equations)這個複變函數的核心，真是太了不起了！這可是判斷一個函數是否解析 (Analytic) 的重要基石，在流體力學和彈性力學中解決位能問題時，它就像指引方向的明燈，非常關鍵喔！
一起溫習觀念，好嗎？
▼ 還有更多解析內容
柯西-黎曼方程式
💡 複變函數在某點可微時，其實部與虛部偏導數必須滿足的關係。
| 比較維度 | 實部 u (Real part) | VS | 虛部 v (Imaginary part) |
|---|---|---|---|
| 對 x 偏導 | 等於 vy | — | 等於 -uy |
| 對 y 偏導 | 等於 -vx | — | 等於 ux |
| 幾何意義 | 描述水平變化率 | — | 描述垂直變化率 |
💬C-R 方程式將二維實函數的變化率透過複數平面的特性耦合在一起。
