高考申論題
107年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
四、設 X1, X2, ..., Xn 為一組隨機樣本服從母體 X 具機率密度函數 f(x;θ) = θe^(-θx), x>0。 (一)證明 T = sum(Xi) 是參數 θ 的一個充分統計量。（10 分） (二)試求參數 θ 的最大概似估計量 MLE（Maximum Likelihood Estimator）。（10 分） (三)若要檢定 H0:θ=1 對應 H1:θ=2，依據 Neyman-Pearson Lemma，試求檢定統計量及其顯著水準 α。（12 分）
四、設 X1, X2, ..., Xn 為一組隨機樣本服從母體 X 具機率密度函數 f(x;θ) = θe^(-θx), x>0。 (一)證明 T = sum(Xi) 是參數 θ 的一個充分統計量。（10 分） (二)試求參數 θ 的最大概似估計量 MLE（Maximum Likelihood Estimator）。（10 分） (三)若要檢定 H0:θ=1 對應 H1:θ=2，依據 Neyman-Pearson Lemma，試求檢定統計量及其顯著水準 α。（12 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
證明 T = sum(Xi) 是參數 θ 的一個充分統計量。（10 分）
思路引導 VIP
證明充分統計量的標準工具是「因子分解定理」(Factorization Theorem)。
- 寫出樣本的概似函數（Likelihood Function）$L( heta)$。
小題 (二)
試求參數 θ 的最大概似估計量 MLE（Maximum Likelihood Estimator）。（10 分）
思路引導 VIP
求 MLE 的 SOP：
- 寫出概似函數 $L( heta)$。
小題 (三)
若要檢定 H0:θ=1 對應 H1:θ=2，依據 Neyman-Pearson Lemma，試求檢定統計量及其顯著水準 α。（12 分）
思路引導 VIP
Neyman-Pearson Lemma 用於尋找最具力檢定（MP test）。
- 設定似然比（Likelihood Ratio） $L( heta_1)/L( heta_0) > k$。