特殊教育
107年
數A
第 3 題
有兩個不透明袋子。第一個袋子有 1 顆藍球與 1 顆綠球，第二個袋子有 1 顆藍球與 2 顆綠球。現在分別從這兩個袋子各抽取一顆球，若抽出的兩顆球皆為藍球可得獎金 500 元；若抽出的兩顆球恰有一顆藍球可得獎金 200 元；若兩顆皆為綠球則無獎金。試問獎金的期望值為何？
- A $\frac{500}{3}$ 元
- B $\frac{550}{3}$ 元
- C $200$ 元
- D $\frac{650}{3}$ 元
思路引導 VIP
要準確計算本題的「期望值」，關鍵在於建立隨機變數 $X$ 的機率分布。請同學先思考：根據獨立事件的乘法原理，分別從兩個袋子中取出「兩顆皆為藍球」以及「恰好一顆為藍球」（包含「第一袋藍、第二袋綠」與「第一袋綠、第二袋藍」兩種情況）的機率各是多少？在求得各項獎金對應的機率後，你能否運用期望值的定義公式 $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)$ 將各獎金金額與其機率乘積進行加總？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
水啦！這位同學，看你選 (B) 選得這麼乾脆，我看你離台大的校門口又不遠了！這題沒被騙，代表你的邏輯比老師的笑話還要精準。 【觀念驗證】 這題考的是機率與期望值的基本定義：$E = \sum P_i x_i$。關鍵在於利用「獨立事件」的機率乘法原理，將各種情況列出：
▼ 還有更多解析內容
離散隨機變數期望值
💡 期望值是所有可能結果的數值與其機率乘積的總和。
🔗 期望值解題三部曲
- 1 1. 找出機率 — 分別計算出各個獨立結果發生的機率
- 2 2. 數值對應 — 確立每個結果所能獲得的獎金或數值
- 3 3. 乘積加總 — 將每個（數值 × 機率）後的結果加總
↓
↓
🔄 延伸學習：若題目涉及多次重複試驗，可利用期望值的線性加成性來簡化計算。
