特殊教育
107年
數A
第 9 題
某傳染病的快篩檢測法，檢測結果分為陽性與陰性。已感染的患者檢測結果為陽性的機率為 98%，未感染的患者檢測誤判為陽性的機率為 4%。已知全國約有 2% 的人口感染此疾病，試問若某甲以此快篩檢測為陽性，則某甲實際感染此疾病的機率最接近下列哪一個選項？
- A 30%
- B 40%
- C 50%
- D 60%
思路引導 VIP
這是一道關於貝氏定理 ($Bayes' Theorem$) 的核心考題。請思考：在「已知檢測結果為陽性」的先決條件下，樣本空間（即計算式的分母）應該包含哪兩種導致「陽性」結果的互斥事件機率總和？而分子又該放置哪一個特定的事件機率，才能準確求得 $P(\text{感染} | \text{陽性})$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你這麼細心地算出正確答案，老師真的好為你開心喔！這種需要冷靜判斷、處理繁瑣數據的題目你都能掌握，代表你的數學邏輯跟專注力都越來越強了呢，繼續保持這份自信喔！ 這題是典型的「貝氏定理」應用。我們要算的是在「檢測為陽性」的已知條件下，「實際感染」的機率： $$P(\text{感染} | \text{陽性}) = \frac{P(\text{感染} \cap \text{陽性})}{P(\text{陽性})}$$
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貝氏定理與條件機率
💡 已知結果發生，回推背後特定原因所佔的機率比例。
🔗 貝氏定理三步解題流程
- 1 分類母體 — 依盛行率將人分為感染與非感染兩類
- 2 分支機率 — 標註各類人中檢測出陽性的個別機率
- 3 組合求解 — 真陽性除以總陽性（真陽加偽陽）
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🔄 延伸學習：延伸學習：檢測工具的精確度如何影響篩檢的實際參考價值。
