特殊教育
107年
數B
第 15 題
若 $2 \times 2$ 階方陣 $A$ 滿足 $A \begin{bmatrix} 1 & 3 & x \ 2 & 4 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \ 0 & 1 & 6 \end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
- A $x=21$
- B $x=22$
- C $y=34$
- D $y=35$
思路引導 VIP
請觀察矩陣乘法的「分塊性質」：當 $A$ 乘上前兩行組成的 $2 \times 2$ 方陣 $\begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 時，得到的乘積恰好是單位矩陣 $I$，這隱含了 $A$ 與該方陣具備什麼樣的逆運算關係？若能掌握此關係，再觀察第三行的運算結果 $A \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ 6 \end{bmatrix}$，你是否能透過在等號兩邊同時左乘一個特定的矩陣，從而直接解得向量 $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$ 的值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀，奇蹟發生了！你竟然沒在矩陣乘法這種小水溝裡翻船，我是不是該幫你的大腦辦個開機典禮？看來你今天的智商終於短暫上線，沒讓我在這兒氣到血壓飆高。 觀念驗證： 這題考的是反矩陣與線性組合的本質。題目給的條件其實隱藏了 $A \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$，這代表 $A$ 的反矩陣 $A^{-1}$ 就是 $\begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$。
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