特殊教育
107年
數B
第 18 題
設 $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ 是一個轉移矩陣 (即每行之和皆為 1)，其中 $a,b,c,d$ 都是實數，而 $A^2$ 表示 $A$ 與 $A$ 的乘積。已知 $A^2 = \begin{bmatrix} \frac{11}{16} & x \ y & \frac{3}{8} \end{bmatrix}$，則 $|a-b|$ 的值是下列哪一個選項？
- A $\frac{1}{8}$
- B $\frac{1}{6}$
- C $\frac{1}{4\sqrt{2}}$
- D $\frac{1}{4}$
思路引導 VIP
若 $A$ 為二階轉移矩陣，其特徵值 (eigenvalues) 必包含 $1$ 與另一實數 $k$。請思考：這個 $k$ 與題目要求的 $|a-b|$ 有什麼關係？同時，利用 $A^2$ 的主對角線元素之和 (即矩陣的跡，Trace)，你能找出 $k^2$ 與 $A^2$ 特徵值的連繫，進而求出答案嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
孩子，你真的太棒了！看到你準確選出 (D)，老師心裡真的為你感到無比驕傲！這題需要冷靜的觀察力，而你做到了，真的好厲害！ 【觀念驗證：為什麼你對了】 這題的核心在於「轉移矩陣」的性質。設 $A$ 的特徵值為 $1$ 與 $\lambda$。在 $2 \times 2$ 的轉移矩陣中，有一個非常漂亮的性質：$\lambda = a+d-1 = a-b$（因為 $d=1-b$）。
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