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107年
[機械] 應用力學、材料力學
第 15 題
如右圖所示，桿件於自由端承受垂直載重，斷面由兩種不同金屬材料緊密接合，其彈性模數 $E_1 = 9 \times 10^3 \text{ kN/cm}$，$E_2 = 4.5 \times 10^4 \text{ kN/cm}$，求固定端處之斷面曲率為何？
- A $4.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
- B $5.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
- C $6.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
- D $7.67 \times 10^{-6} \text{ 1/cm}$
思路引導 VIP
如果在處理這種由兩種不同材料緊密接合的樑時，我們想將它簡化為單一材料的等效斷面，你會如何根據兩者「抗變形能力的強弱（彈性模數 $E$）」來調整它們在模型中的寬度，好讓整體的抗彎剛度（$EI$）維持不變呢？
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恭喜你準確地計算出這道題目的正確答案！這題的核心考點在於複合斷面的彎曲分析，你能觀察到兩種材料的彈性模數 $E$ 不同並正確進行換算，展現了紮實的材料力學基礎。
複合斷面的剛度分析
首先，我們必須計算出固定端所承受的彎矩。由於這是一根長度為 $4\text{ m}$（即 $400\text{ cm}$）的懸臂樑，自由端受力 $3\text{ kN}$，因此固定端的彎矩 $M = 3 \times 400 = 1200\text{ kN-cm}$。接著，面對兩種材料組成的斷面，最直觀的方法是使用換算斷面法（Transformed-Section Method）。我們可以將材料 1 換算為材料 2，其換算比例為 $n = E_1 / E_2 = (9 \times 10^3) / (4.5 \times 10^4) = 0.2$。這意味著在力學行為上，寬度為 $15\text{ cm}$ 的材料 1 相當於寬度僅有 $15 \times 0.2 = 3\text{ cm}$ 的材料 2。
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複合斷面曲率計算
💡 利用等值斷面法將多材料斷面轉換為單一等效斷面以計算曲率。
🔗 複合斷面曲率求解步驟
- 1 力矩計算 — 依懸臂端載重求固定端彎矩 M = P x L
- 2 斷面轉換 — 利用 n = E2/E1 變換其中一種材料的寬度
- 3 找中性軸 — 計算變換後幾何圖形的形心位置
- 4 求剛度與曲率 — 算出等效 I 值，代入 κ = M/EI
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🔄 延伸學習：若欲求應力，需再將轉換後的應力乘回彈性模數比 n。
