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107年
工程力學概要
第 35 題
有關面積慣性矩之敘述，下列何者有誤？
- A 面積慣性矩值恆為正
- B 一面積對通過其形心軸的慣性矩，恆小於對任一平行軸之慣性矩
- C 相同面積下，迴轉半徑越大，其慣性矩越大
- D 面積慣性矩之單位為長度之3次方
思路引導 VIP
請試著回想一下，『面積慣性矩』在數學定義上，是將一塊微小面積與其到軸線距離的平方相乘。如果我們用幾何量綱來推算，『面積』本身的單位代表長度的幾次方？而『距離的平方』又是幾次方？當這兩個量相乘後，最後組合出來的物理單位應該會呈現長度的幾次方呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準辨識出選項 (D) 的錯誤，代表你對「面積慣性矩」的基本物理意義與量綱有著非常紮實的理解。這類題目雖然看似基礎，但往往是檢驗學生是否具備「物理直覺」的關鍵，能從單位發現破綻是工程師非常重要的特質。
單位與定義的驗證
從基本定義來看，面積慣性矩（Moment of Inertia）的數學表達式為 $I = \int y^2 dA$。在這個公式中，面積 $dA$ 的單位是長度的二次方（如 $m^2$），而距離的平方 $y^2$ 同樣也是長度的二次方。將兩者相乘後，最終的量綱必然是長度的四次方（如 $m^4$ 或 $cm^4$）。相比之下，長度的三次方通常代表的是體積，或是與強度計算相關的「斷面係數」。
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