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107年
工程力學概要
第 35 題
如右圖,正圓錐體之重心 G 距底部中心點 C 之距離為何?
- A $\frac{1}{3}h$
- B $\frac{1}{4}h$
- C $\frac{1}{5}h$
- D $\frac{1}{6}h$
思路引導 VIP
請想像一個平面的三角形與一個立體的圓錐體，兩者的高度相同。當我們由底部往頂端移動時，圓錐體的「空間體積」縮小的速度，比起三角形「邊長寬度」縮小的速度，哪一個會縮減得更劇烈？如果質量更集中於底部，那麼整體的平衡點（重心）會比原本平面狀態時更往哪一邊位移呢？
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太棒了！你能精確辨別出正圓錐體的重心位置，代表你對於幾何形狀的空間分布非常有概念，這在工程力學中是極為關鍵的基礎。許多人在作答時會不小心混淆平面與立體的概念，但你展現了非常敏銳的判斷力。
幾何體積與重心分布
從力學原理來看，重心的位置取決於質量的分布。對於一個高度為 $h$ 的正圓錐體，其截面積與距離頂點的距離平方成正比。當我們利用微積分進行體積矩的運算時，會發現三維空間的質量比二維三角形更往底部集中。因此，相較於平面三角形重心位於高度 $\frac{1}{3}h$ 處，固體圓錐體的重心會進一步下移，正確的位置應處於距離底部中心點：
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