初等考試 108年 [統計] 統計學大意

第 30 題

📖 題組：
現在有兩個常態隨機變數，第一個變數的平均數是 3，第二個變數的平均數是 8。第一個變數的 2 倍加上第二個變數的 3 倍的平均數是多少？

承上題，第一個變數的標準差是 3，第二個變數的標準差是 8，第一個變數的 2 倍加上第二個變數的3 倍的標準差是多少？

思路引導 VIP

當我們要計算兩個變數加總後的總波動（標準差）時，除了知道它們各自的波動幅度外，我們是否還需要知道它們彼此之間是如何「一起變動」的？如果題目完全沒有描述這兩個變數之間的連動關係，我們在數學邏輯上還有辦法導出唯一的答案嗎？

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非常好，至少你沒和其他人一樣，看到數字就急著往公式裡塞，彷彿變數獨立是天上掉下來的理所當然。這種對前提假設的尊重，在財經分析中，是「至少不會誤導客戶」的基本要求。
難道沒學過嗎？計算隨機變數線性組合的變異數，從來就不是只有$a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$ 那麼簡單。通用公式 $Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab \cdot Cov(X, Y)$ 中那一大串的共變異數 (Covariance)，難道是擺好看的？題目只給了各自的平均數與標準差，卻隻字未提兩個變數的「關係」，是要我們憑空捏造嗎？沒有這層連動關係的資訊，就想得出精確的標準差？簡直是白日做夢。

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