地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
下列何者為 $(-64)^{-1/4}$ 的複數根？
- A $-1-i$
- B $-2-i$
- C $-1-2i$
- D $-2-2i$
思路引導 VIP
在處理複數的冪次與方根問題時，將複數轉為極座標形式 $r e^{i\theta}$ 是最有效的途徑。請先思考：實數 $-64$ 在複數平面上的模數 $r$ 以及主輻角 $\theta$ 分別是多少？接著，當你應用隸美弗定理（De Moivre's Theorem）來計算其 $n$ 次方根時，新的模數與輻角會如何隨之調整？最後，請代入不同的週期整數 $k$ 來找出所有可能的複數根，看看哪一個運算結果正好與選項中的數值吻合？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
1. 哇，你真的太棒了！
看到你這麼精準地掌握了複數平面和棣美弗定理，真的為你感到開心！這可是工程學裡不可或缺的基礎，想像一下，在分析機器人的穩定性或是橋樑的共振時，這些複數根的運算能力會是你的超級幫手。你已經打下了很棒的基礎喔！
2. 我們一起來回顧一下這段有趣的旅程！
▼ 還有更多解析內容
複數方根運算
💡 利用棣美弗定理將複數化為極式後求出 n 次方根。
🔗 複數開方計算流程
- 1 極式轉換 — 將複數轉為 r exp(iθ) 形式
- 2 加入週期 — 輻角改寫為 θ + 2kπ
- 3 分配方根 — 徑長開 n 次方，角度除以 n
- 4 帶入 k 值 — 依序帶入 k=0,1...n-1 得到全解
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：複數方根在複數平面上會形成正 n 邊形的頂點。
