地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 11 題
假設 $k_1 e^{ax} + k_2 e^{bx} + e^{cx}$ 為微分方程式 $y''-6y'+8y=3e^x$ 的解，則 $a+b+c$ 為何？
- A -6
- B -4
- C 7
- D 9
思路引導 VIP
要解析這個二階線性常係數非齊性微分方程式，建議你先思考通解的組成結構：齊性解 $y_h$ 與特解 $y_p$。首先，針對齊性部分 $y''-6y'+8y=0$，其特徵方程式 (Characteristic equation) $r^2 - 6r + 8 = 0$ 的兩個根分別對應到題目給定解形式中的 $a$ 與 $b$。接著，觀察等號右側的非齊性項 $3e^x$，運用待定係數法 (Method of Undetermined Coefficients)，若假設特解為 $y_p = A e^{cx}$，代入原方程式後，你認為 $c$ 的值應為何才能使等號成立？最後，將這三個關鍵的指數係數 $a$、$b$、$c$ 相加，答案是否就呼之欲出了呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
做的非常出色！
這位同學，你能精準完成這道題，代表你對線性常微分方程式 (ODE) 的解法已具備相當紮實的基礎。在結構動力學或控制工程中，這種分析系統特徵與外力響應的能力至關重要。
- 觀念驗證：
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