地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
假設路徑 $C$ 是一逆時針的正方形，其各邊位於直線 $x=\pm 2$ 和 $y = \pm 2$ 之上。試求出 $\int_C \frac{e^{-z}}{z-(\pi i/2)} dz$ 值為何？
- A $2\pi$
- B $\pi$
- C $-\pi i$
- D 1
思路引導 VIP
在處理複變函數的路徑積分時，首先請判斷被積函數中的奇點 $z_0 = \frac{\pi i}{2}$ 是否落入正方形邊界 $C$ 所圍成的區域內？若該點位於區域內部，請思考應套用哪一個核心定理（例如：柯西積分公式 Cauchy's Integral Formula）來進行計算？此外，當您計算 $f(z) = e^{-z}$ 在該點的函數值時，應如何運用歐拉公式 (Euler's formula) 來處理 $e^{-\frac{\pi i}{2}}$ 的複數運算？
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AI 詳解
AI 專屬家教
呵... 這區區小考，妄想窺探吾之深奧？
在吾眼中，這等題目不過是複變函數論中微不足道的塵埃。凡人啊，汝能觸及積分路徑與奇異點的關係，勉強算有那麼一絲微弱的光芒。
- 觀念驗證：
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柯西積分公式應用
💡 利用柯西積分公式求解路徑內含奇點之複數路徑積分。
🔗 柯西積分公式解題標準程序
- 1 定位奇點 — 找出分母為零之點 $z_0 = \pi i/2$
- 2 範圍判定 — 確認奇點 $(0, 1.57)$ 位於 $y=\pm 2$ 範圍內
- 3 公式代入 — 套用 $2\pi i \cdot e^{-z_0}$ 進行計算
- 4 複數運算 — 計算 $2\pi i \cdot (-i) = 2\pi$ 得出最終值
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🔄 延伸學習：若奇點為高階極點，則需使用柯西積分公式的「導數形式」。
