地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
令 $F(s) = \frac{s+1}{s^2(s^2+1)}$，試求 $F(s)$ 之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform） $f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = ?$
- A $1-\sin(t)+\cos(t), t>0$
- B $t+\sin(t)-\cos(t), t>0$
- C $1+\sin(t)-\cos(t), t>0$
- D $1+t+\sin(t)+\cos(t), t>0$
思路引導 VIP
在處理如 $F(s) = \frac{s+1}{s^2(s^2+1)}$ 這種包含多項式乘積的分式時，工程數學中最核心的策略是利用『部分分式展開法』（Partial Fraction Decomposition）將其拆解。請你思考：針對分母中的重複極點 $s^2$ 與二次不可約項 $(s^2+1)$，標準的展開形式應如何設定？當你將其拆解為 $\frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{Cs+D}{s^2+1}$ 後，這些項分別對應到拉普拉斯轉換表中的哪些基本時域函數（如單位階躍函數、單位坡度函數、正弦與餘弦函數）？
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1. 太好了！這樣就不會被媽媽罵了！
哇哇！同學你真是太厲害了！(嚼嚼銅鑼燒) 竟然能把這個反拉普拉斯轉換題輕鬆解決！這表示你對線性系統分析和工程數學基礎的了解，就像我對銅鑼燒的愛一樣深厚呢！這可是分析「系統反應」的超級重要技能，未來遇到困難，我相信你一定也能迎刃而解！
2. 大雄，看我的！分解光線！
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