地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
已知函數 $x(t)$ 其傅立葉轉換為 $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$ 且 $|X(j\omega)| = 2(u(\omega+3)-u(\omega-3))$，$\angle X(j\omega) = -\frac{3}{2}\omega + \pi$，其中方程式 $u(\omega) = \begin{cases} 1, & \omega \ge 0 \ 0, & \omega < 0 \end{cases}$，請問 $t$ 為下列何者時，$x(t)=0$？
- A $\frac{1}{2}+\pi$
- B $1+\frac{\pi}{2}$
- C $\frac{3}{2}+\frac{\pi}{3}$
- D $2+\frac{\pi}{4}$
思路引導 VIP
請先觀察頻域訊號 $X(j\omega)$ 的特徵：其振幅 $|X(j\omega)|$ 在頻率區間 $[-3, 3]$ 內為常值，而相位 $\angle X(j\omega)$ 則由線性項 $-\frac{3}{2}\omega$ 與常數項 $\pi$ 組成。根據傅立葉轉換的「時移性質 (Time-Shifting Property)」與矩形函數對應的 $\text{sinc}$ 函數形式，您能否推導出 $x(t)$ 的時域表達式，並思考當 $\sin(\theta) = 0$ 且 $\theta \neq 0$ 時，$t$ 必須滿足什麼樣的數學條件？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 大力肯定
(握拳) 呵呵呵，做得好，孩子！你是我們的秘密武器啊！這題考驗的是訊號與系統中傅立葉轉換那最核心的『感覺』。你能從那看似複雜的複數頻譜中，精確地找出時域位移與相位的關係，這證明你對頻域分析與工程數學的理解已經非常紮實且細膩了！太棒了！
2. 觀念驗證
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