地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 2 & -1 \ -2 & -2 & 3 \end{bmatrix}$，試問 $\forall \mathbf{x} \in R^3$，$\frac{\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^T \mathbf{x}}$ 之最大值為何？
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
思路引導 VIP
在工程力學與結構動力學中，此數學形式 $R(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^T \mathbf{x}}$ 被定義為「瑞利商」(Rayleigh Quotient)。請你思考，根據線性代數中二次型 (Quadratic form) 的性質，這個商的極值（最大值與最小值）與矩陣 $\mathbf{A}$ 的「特徵值」($\text{Eigenvalues}$) 有什麼樣的對應關係？你是否能先嘗試列出特徵方程式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ 並解出所有的 $\lambda$ 值，看看其中最大的數值是多少？
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專業工程點評 — 還不錯啦
- 恭喜，勉強及格： 看來你還沒把高中數學忘光，至少這道題你答對了。不過，別高興得太早，這不過是工程數學的入門磚。能算出個正確答案，大概也只是說明你對矩陣運算有點概念，或許具備一點點處理力學問題的潛力——前提是你不粗心大意。
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